бичлэг11-р ангийн шалгалт
Энд 10-р ангийн шалгалтанд ирдэг хэдэн бодлогуудыг орууллаа. Манай анализийн эхлэлийн хичээлvvдийг vзчихсэн байхад энэ бодлогууд нэг их хэцvv санагдах ёсгvй. (Жич: Зууны Мэдээ сониноос энд оруулж тавив.)
1. (-343)1/3
2. 5x - 20 = 0 тэгшитгэлийг бод.
3. cot(60 градус) = ? (
4. Ангийн сурагчдийн 30 нь эрэгтэй, 20 нь эмэгтэй байв. Энэ ангиас таамгаар нэг хvvхдийг дуудахад тэр нь эрэгтэй хvvхэд байх магадлалыг ол.
5. 10,5 нэгж радиустай тойргийн уртыг ол.
6. хязгаар бод.
7. у=3x4+5x2+25 функцийн уламжлалыг ол.
8. бол а - г ол.
9. = ?
10. А(2,3), B(0,4), C(0,1), D(-2,2) цэгvvдийн хувьд А цэгийг B цэгт, C цэгийг D цэгт тус тус буулгадаг параллель зөөлт байх уу?
11. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз нь 26, катет нь 10 бол нөгөө катетыг нь ол.
12. 7, 8, 11, 16, 23... дарааллын 6-р гишvvнийг ол
13. (315-314)/30 = ?
14. {an} арифметик прогрессийн а7=6 бол S13 - ыг ол.
15. А хотоос Б хотод 6 янзын замаар, Б хотоос С хотод 8 янзын замаар очдог бол А хотоос Б хотыг дайраад С хотод очиж болох бvх замын тоог ол.
16. функцийн тэгш сондгойг ол.
17. хязгаар бод.
18. Сурагч 1/8 цагт а даалгавар гvйцэтгэдэг бол 10 цагт хэдэн даалгавар гvйцэгтэх вэ?
19. Талхны vнийг 12% нэмсний дараа 13% хямдруулсан бол талхны vнэ анхныхаасаа хэрхэн өөрчлөгдсөн бэ?
20. бол х - ийг у - ээр илэрхийл.
21. 256м урттай, 174м өргөнтэй тэгш өнцөгт хэлбэрийн эдлэн газрыг тойруулан барьсан хашааг буулган оронд нь хоорондоо аль болох хол бөгөөд тэнцvv зайтай байхаар дохиолуурын шонг босгохоор болов. Тэгш өнцөгтийн орой бvр дээр дохиолуурын шонг босгох шаардлагатай бол нийт хэдэн дохиолуурын шон хэрэгтэй вэ?
22. тэнцэтгэл бишийг бод. (Тэнцэтгэл биш ямар завсар дээр биелэх вэ?)
23. АB = 19 см, AC = 18 см байх ABC гурвалжны А оройн биссектрис BC талын BD = x, DC = y байх D цэгээр огтолцсон бол тэдгээр хэрчмvvдийн уртын жиш.
24.
25. Нvvрэн талаасаа 2м радиус бvхий хагас дугуй хэлбэртэй харагддаг, газар доогуур 90м vргэлжилдэг хонгилын эзэлхvvнийг ол.
26. байх ABC тэгш өнцөгт гурвалжны C өнцөгрvv зурагт vзvvлсэн байдлаар төгсгөлгvй олон кавдратуудыг багтаав. Эдгээр бvх кавдратуудын талбайн нийлбэрийг ол.
27. Тамирын голын эрэгт зусаж байгаа Итгэлт баяны зуслангийн байрын зурагт А(22,0) цэгээр дvрслэв. Тамирын голын энэ орчмын голдирол f(x) функцийн графикаар дvрслэгдэх бол Итгэлийнхээс гол хvрэн хамгийн богино зайг ол.
28. y=x2-5x+9, y=ax+8 функцууд шvргэлцэж байх а - ийн бvх утгыг ол.
29. 1:100 м масштабтай зурагт Итгэл иргэний эзэмшиж байгаа газрын харуулав. Хэрэв 1м2 газрын vнэ 10000 төгрөг бол Итгэлт иргэний газар ямар vнэнээр vнэлэгдэх вэ?
бодлогуудын
бодолтууд
1. -7 (343 = 7
49)
2. 4 (Бага ангийн тэгшитэлээ мартаж болохгvй шvv, 10-р
ангийн хvvхдvvд ээ!)
3. cos(/3)=1/2,
sin(/3)=(31/2)/2
байдагийг санавал cos(/3)/sin(/3)
= (31/2)/3
4. 3/5 (Эрэгтэй хvvхдvvдийн тоог хуваах нь нийт сурагчидийн
тоо.)
5. Тойргийн урт 2r
байдаг. Тэгэхлээр 21
6. 20 (Vржигдхvvн болгон задлана. (x2-100)=(x-10)(x+10)
байна. Тэгээд хураасныхаа дараа 10+10=20)
7. xn - ийн уламжал nxn-1 байдагыг санаад, бас
cg(x) функцийн уламжлал cg'(x) байдагыг санавал у'=12x3+10x
байна.
8.
9. Ньютон-Лейбницийн теорем ёсоор хариу нь 11х10+c
10. Байна. (ганц байна.)
11. Пифагорын теорем хэрэглэвэл 262-102=242.
Тэгэхлээр нөгөө катет нь 24.
12. 32 (Дараалсан сондгой тоонуудыг нэмж байна.)
13. (315-314)/30 = 314(31-1)/30 = 314
14. 78
15. 6
8 = 48
16.
f(-x) = -f(x) байгаа учраас функц маань сондгой байна.
17. x-->0 гэхэд sin(2x)-->0 байдаг учраас бид анализийн хичээл дээрээ
vзээд байсан 15-р теоремийг ашиглаад
гэж бодно.
18. Сурагч 1 цагт 8а, 10 цагт 80а даалгавар гvйцэтгэнэ.
(Залхуурахгvйгээр хийж чадна гэж vv?)
19. Анхны vнийг х гэе. Тэгвэл vнэ нэмэгдсэний дараа 112/100х, vнэ хямдруулсаны
дараа (112/100
87/100)х = 0,9744х байна. Тэгэхлээр талхны vнэ 2,66%
- иар буурсан байна.
20.
21. Энэ бодлого жаахан сонин бодлого байна. За тэр ч яахав. Би л лав ингэж
бодлоо: 174, 256 хоёрын ХИЕХ нь 2 учираас 2 м бvрд нэг шон босгох хэрэгтэй.
Тэгэхлээр [(174 + 256)
2]/2 = 430 шон. (Хариутай нь таарч байгаа болохлээр
энийг л зөв гэж vзэхээс.)
22. [1/9, 27]
23. Пифагорын теорем ёсоор 192-x2 = 182
- y2 байх учир x>y байна.
24. x(5x - 1) - 2 = 0, 5x2 - x - 2 = 0, г.м - ээр бодоод х,
у - ийг олоод нэмвэл -2,5 гарах ёстой.
25. Дугуйн талбай r2
байдаг. Тэгэхлээр эзэлхvvн нь 22
/ 2
90 = 180
м3 байна.
26. Интегралыг яаж тодорхойлдогийг санавал төгсгөлгvй олон дөрвөлжингvvдийн
нийлбэр нь тэр гурвалжингийн талбайтай тэнцvv болохыг харж болно. ABC
гурвалжингийн талбай 13,5 болохыг Пифагорын теоремоор
олж болно.
27.
28. Бид энэ шулуун f(x)=x2-5x+9 функцийг яг хаана шvргэхийг
мэдэхгvй байна. Гэхдээ x1 цэг дээр шvргэнэ гэж
vзвэл у - у1 = а(х - х1) = (2х1 - 5)(х
- х1) байна. y = ax - 2(x1)2 + 5x1
+ y1 = ax + 8 = ax - (x1)2 + 9, өөрөөр
хэлбэл х1 = 1
байна. Хоёр а - гийн утга байх ба x1 = 1 байхад a
= -3, x1 = -1 байхад a = -7 байх
нь харагдаж байна.
29. cos14x = 0, бидэнд хэрэгтэй х = /28
байна. Тэгэхлээр
Уламжлалтай холбоотоо бодлогууд
Хариуг нь мэдэхийг хvсвэл асуулт самбар дээр очоод асуугаарай.
1. sin(x) функцийн уламжлал cos(x) бол, бас cos(x) функцийн уламжлал -sin(x) бол доорх функцvvдийн уламжлалыг олно уу? Би ойлгож байна, чи тригнометр функцvvдийг vзээгvй байж болно. Гэхдээ одоо бол зvгээр л уламжлалуудыг нь олж байна, функцийх нь тухай өөр юм мэдэх шаардлага байхгvй. Энэ бодлого бол нэг их хэцvvд орохгvй. Харин чамайг энэ бvлгийн олон теоремуудыг (ялангуяа 8-р теорем) ашиглаж чадаж байна уу, vгvй юу гэдгийг шалгана. (Хариу нь нvсэр том гарах учраас цаасан дээрээ жаахан бичээрэй.)
2. Хэрэв g(x)=xn бол g'(x)=nxn-1 болохыг n - ийн натурал тоо байх тохиолдолд батал. Нэг арга нь математик индукцийн арга хэрэглэх. Бас нэг арга нь Ньютоны Бином ашиглах - энэ удаа буцаад уламжлалынхаа тодорхойлолтыг ашиглаад дээрх томъёог бичвэл аяандаа хаана нь Ньютоны Биномийг ашиглах нь харагдана. Өшөө бас нэг арга нь бас уламжлалынхаа тодорхойлолтыг ашиглаад, [xn - hn] - ийг vржигдхvvн болгон задлах - сайн ажиглавал аяндаа ойлгомжтой болно.
3. Хэрвээ f(0)g(0)=0 бөгөөд f, g хоёр нь хоёулаа уламжлалтай бол x=f(x)g(x) байх боломжгvй болохыг батал.
4. Нэг болон нэгээс олон цэг дээр тасралтгvй мөртлөнгөөсөө уламжлалгvй функцvvдийн жишээг олно уу? Ерөнхийдөө функц нь ямар нэгэн цэг дээр "өнцөг", "булан" - тай бол тэр цэг дээр уламжлалгvй байдаг (яагаад?). Ийм өнцөг, булантай функцийн жишээ юу байна? Хэрвээ f функц a дээр тасралттай бол a дээр уламжлалтай юу? (Сvvлийн асуултны хайриулт мэдээжийн байна)
Хязгаарын тухай бодлогууд
Манай хязгаарын тухай хичээлийг vзээд ойлгосон хэн болов ч сайн оролдвол доох бодлогуудыг бодож чадаж байх ёстой.
Бодлого Нэг
А) хязгаарууд байдаггvй гэж бодъё. Тэгвэл хязгаарууд байж болох уу?
Б) хязгаар байдаг ба хязгаар байдаг гэж бодъё. Тэгвэл хязгаар заавал байх ёстой юу?
В) хязгаар байдаг ба хязгаар байдаг гэж бодъё. Тэгвэл хязгаар заавал байх ёстой юу?
Бодлого Хоёр
болохыг батал. (Энэ бодлого нь ойлгомжтой харагдах болов ч иймэрхvv ойлгомжтой юмнуудыг цаасан дээр яг нарийн математикаар баталж сурах нь чухал. Иймэрхvv хязгаар оролцсон "батал" гэсэн бодлогуудыг буцаад хязгаарын тодорхойлолтоо ашиглаж байж бодно.)
Бодлого Гурав
гэсэн хоёр томъёог батал.
Бодлого Дөрөв
Бодлого Тав
Хэрвээ b 0 ба бол болохыг батал. (Зөвлөмж: f(bx)/x = b[f(bx)/bx] болохыг санах хэрэгтэй.)
Бодлого Зургаа
ба бvх х - ийн хувьд |f(x)| M гэе (M нь зvгээр л бодит эерэг тоо). Тэгвэл болохыг батал.
Бодлого Долоо
Доорх хязгааруудыг бодож ол.
Интегралчлах
Функцийн интегралыг олох (бодох) vйлдэлийг интегралчлах vйлдэл гэдэг. бол бид F функцийг f функцийн эх функц гэж нэрэлдэг. Эх функц олдсон байхад тодорхой завсар дээр өгөгдсөн интегралыг бодож олоход хялбар тул бид энэ хичээлээ эх функцийг олоход зориулна.
интегралыг тодорхой биш интеграл,
интегралыг тодорхой интеграл гэдэг. Ньютон-Лейбницийн Теорем ёсоор
байдаг. Эх функц vнэндээ
F(x) + c
хэлбэртэй байдгийг анхаарах хэрэгтэй. Гэхдээ практикт (интегралчлах vед) бодит тоо c - г vргэлж бичээд байх нь ядаргаатай байдаг. Тиймээс бид c - г орхиж байх болно.
Бид аль хэдийнээ нэг чухал интегралын дvрэмийг дурдачихсан: n -1 бол
Тэмдэглэлгээг хялбар болгохын тулд
Интегралчлах vйлдэлийг сурч эхлэхийнхээ өмнө цээжилчихэд илvvдэхгvй зарим уламжлалуудыг дурьдвал:
байдагийг мэднэ. Одоо хичээлээ эхлэе! Интегралчлахдаа бид vндсэн хоёр аргыг хэрэглэдэг: хэсэгчлэх арга, орлуулах арга.
Хэсэгчлэх арга
Теорем 27
Хэрвээ , g' хоёр тасралтгvй бол
Баталгаа
Энэ аргыг интегралчлагдаж байгаа функцын нэг хэсэг нь (g') функцийн уламжлал, нөгөө хэсэг нь (f) өөрөөсөө хялбар уламжлалтай байхад хэрэглэхэд тохьромжтой. Хоёр жишээ хэлье,
= xex - ex.
= -x(cosx) + sinx.
Арай хvндэвтэрт орох өөр нэг жишээ:
Дараагийн хичээлдээ бид орлуулах аргыг болон өөр башир аргуудыг авч vзэх болно.
Илтгэгч ба Логрифм Функцууд (2)
Хичээлээ эхлэхээсээ өмнө нэг юмийг анхааруулъя: бидний өмнө нь хэрэглээд байсан log - ийг энд ln гэж тэмдэглэнэ шvv! (Суурийг нь мэддэггvй байснаас болоод ингэж тэмдэг хольж хутагалаа.)
Теорем 35
Дурын х, у - ийн хувьд ex+y = ex ey байна.
Баталгаа
a = ex, b = ey гэе. Тэгвэл х = ln(a), y = ln(b) байна. Тэгэхлээр x + y = ln(a) + ln(b) = ln(ab). Энэ нь ex+y = ab = ex ey гэсэн vг билээ.
Бид одоо e - гээс өөр суурьтай илтгэгч функцуудийг тодорхойлно.
a > 0 бол бvх х - ийн хувьд ах = exln(a) гэнэ.
Теорем 36
а > 0 бол (ab)c = abc, аx+y = ax ay байна.
Баталгаа
Илтгэгч функцуудийн графикыг яаж өөрчлөгдөдгийг дараах зургаас харж болно.
1х = 1 байна. а > 1 vед функц маань өсөж, а < 1 vед функц маань буурж байгааг хялбархан харж болно. ах функцийн уламжлал axlog(a), logax функцийн уламжлал ln(x)/ln(a) болохыг олж болно.
Одоо f(x) = g(x)h(x) хэлбэрийн функцийн уламжлалыг яаж олох тухай ярья. Тодорхойлолт ёсоор
g(x)h(x) = eh(x)ln(g(x))
билээ. Тэгэхлээр 8-р теоремийг хэрэглэвэл
Энийг цээжлэх хэрэг байхгvй, зvгээр л иймэрхvv тохиолдолд 8-р теоремийг хэрэглэдэг гэдгийг л санаж яв.
Харин бид уламжлалын тухай vзэж байхдаа f(x)=xa функцийн уламжлалын томъёог батлалгvй vлдээсэн. Энийгээ бvх х - ийн хувьд батлая.
Теорем 37
Ямар нэгэн бодит а тоогийн хувьд f(x) = xa бол (x) = axa-1
Баталгаа
Тодорхойлолт ёсоор f(x) = xa = ealn(x) билээ. Тэгэхлээр
Одоо шал өөр юмний тухай vзье. ex функц олон гишvvнт функцээс яаж ч байсан хурдан өсдөг. Өөрөөр хэлбэл
Теорем 38
Дурын n - ийн хувьд .
Баталгаа
Бид гурван шатаар явж байж энэ теоремийг батлана.
Нэг.
n = 0 vед байхыг батлая. ex > x байхыг л vзvvлэхэд болж байна. Учир нь х - д хязгаар гэж vгvй билээ. ln - ийг нь олвол x > ln(x) болохыг х > 0 vед батлах хэрэгтэй болж байна. х < 1 vед ln(x) сөрөг байдаг. х > 1 vед доорх зургийг ажиглая:
x - 1 нь f(t) = 1/t функцийн [1, x] завсар дээрх нэг S байна. Тэгэхлээр ln(x) < x - 1 < 1.
Хоёр.
Бид одоо болохыг батлана.
Хаалтан дотор байгаа нь 1 - ээс их (учир нь ex > x), учир байж таарна.
Гурав.
Теоремоо батлахын тулд
болохыг ажиглана уу. Хаалтанд байгаа нь 1 - ээс их, х--> гэхэд ихсээд байна. Тэгээд бас 1/(nn) чинь зvгээр л нэг тоо болохоор теорем маань батлагдав.
Логрифм Ба Илтгэгч Функцууд
Алгебрт vздэг зэргийн тухай давтаж нэг харахад илvvдэхгvй биз ээ.
аn аm = аm+n
а0 = 1
а-n = 1/аn
байдгийг болон яагаад гэдгийг бид мэднэ. Харин а - г иррационал (иррационал тоог c/d гэж бичиж болдоггvй) зэрэгт дэвшvvлэхэд яах ёстой нь тодорхойгvй байна.
а + b = b + а учраас нэмэх, vржvvлэх vйлдэлvvд хоёр урвуу vйлдэлтэй байдаг билээ. Харин ab ba болохлээр зэрэгт дэвшvvлэх vйлдэл хоёр урвуу vйлдэлтэй байдаг. Суурыг нь олох vйлдэлийг язгуур гаргах vйлдэл гэнэ. Харин зэргийг нь олох vйлдэлийг логрифм гэж нэрэлдэг. 102 = 100 бол log10100 = 2, аb = c бол logаc = b байдаг. а - г суурь гэж нэрэлдэг.
log болон илтгэгч функцийг (ах, logаx функцуудийг) яаж тодорхойлох вэ? Зvгээр бичээд л болоо юм биш vv гэхлээр жишээлбэл энэ функцvvдийн чинь уламжлалыг яаж олох вэ? Бас илтгэгч функцийг иррационал зэргийн хувьд яаж тодорхойлох вэ?
Эхлээд f(x) = ах функц байлаа гэж бодъё. f(x+y) = f(x) f(y) бөгөөд f(1) = а байх нь харагдаж байна. Хэрвээ f функцийн уламжлалыг олохыг оролдож vзвэл
гэж гарна. (0) байдаг гэж vзээд энийгээ z - гээр тэмдэглэе.
Хэрвээ бид f-1 = logаx функцийг авч vзвэл,
байна. Логрифм функцийн уламжал маш хялбархан хэлбэртэй харагдаж байна. Бид дээр нэг л функцийн интегралын олж чадахгvй байсан, харин одоо
байгааг олж болно. Нэг ёсондоо бид логрифм функцийг иймэрхvv интеграл хэлбэрээр тодорхойлж болох юм. Харамсалтай нь z буюу (0) тодорхойлоогvй. Гэхдээ бид z - г мартаад
х > 0 бол
гэж тодорхойлно.
Жич: Энэ функцийг голдуу ln(x) гэж тэмдэглэдэг. Харин log тэмдэгээр 10 суурьтай логримфмийг тэмдэглэдэг.
Одоохондоо энэ логрифмийг ямар суурьтай логрифм болохыг бид мэдэхгvй. Харин дараа энэ сууриа бодож олох байх гэж найдaя.
Энэ интегралын дvрслэлийг дээр зурж тавьлаа.
Энэ бидний саяны тодорхойлсон функцийн график.
Теорем 33
Хэрвээ х, у > 0 бол
log(xy) = log(x) + log(y)
Баталгаа
Ньютон - Лейбницийн Теорем ёсоор log'(x) = 1/x байна. Дурын y>0 байг, бас f(x) = log(xy) гэе. Тэгвэл
Өөрөөр хэлбэл =log'. Энэ нь log(xy) = log(x) + c гэсэн vг билээ. Одоо c - г олъё.
log(1y) = log(1) + c = c
байна. Тэгэхлээр
log(xy) = log(x) + log(y)
байна. Энэ нь дурын y - ийн хувьд болохлээр теорем маань батлагдлаа.
Энэ теоремийг ашиглаад log(xn) = n log(x) (индукцын аргаар), бас
гэх зэргийг баталж болдог. Логрифмийн функц хязгааргvйгээр өсдөг, бас х тэгд ойртох тусам хязгааргvйгээр бага болдог. (Энийг батлах хялбар дасгал би удахгvй бодлогууддаа оруулна, жаахан тэсэж бай.) Тиймээс log - ийн утгын муж бvх бодит тооны олонлог. Бид одоо log - той адилхан суурьтай илтгэгч функцийг тодорхойлоход бэлэн боллоо. Хялбараа бодож энэ сууриа мэдэхгvй ч, тодорхойлогдоогvй ч гэсэн e гэж тэмдэглэе.
ex = log-1
log - ийн утгын муж нь (0, ) учраас бид зэрэгт дэвшvvлэх функцийг бvх х - ийн хувьд (х иррационал байсан ч хамаагvйгээр) тодорхойлж байна.
Теорем 34
Бодит бvх х - ийн хувьд g(x) = ex гэе. Тэгвэл g'(x) = ex.
(Өөрөөр хэлбэл энэ функцийн уламжлал нь энэ функц өөрөө байна.)
Хэдхэн өгvvлбэрийн өмнө бидний тодорхойлж чадахгvй байсан функцийн уламжлалыг ийм амархан баталж болж байна! (Тэгэхлээр битгий шантар.)
e тоог бид дараа дэлгэрэнгvйгээр нь vзэх болно. (Одоохондоо бид энэ тоог хэдтэй тэнцvv байдгийг ч мэдэхгvй явна.)
Нэг юм анхааруулахад бидний одоо бичээд байгаа e суурьтай log - ийг ln(x) гэж бичдэг. Энэ функц амьдралд элбэг тохиолдодог болохлээр log naturilas гэж латинаар тэмдэглэжээ. Бид ч гэсэн тэгэж бичиж байх болно. Харин 10 суурьтай log функцийг зvгээр л log(x) гэж бичдэг. Тэгэхлээр бид тэмдэглэгээгээ сольлоо шvv!
Тригнометр Функц (3-р хэсэг)
Туслах Теорем
Хэрвээ h функц нь 2-р эрэмбийн уламжлалтай (бvх бодит тооны хувьд), ба
h'' + h = 0,
h(0) = 0,
h'(0) = 0.
бол h = 0. (h нь налуу функц байна.)
Баталгаа
1-р тэнцэтгэлийг нь h' - ээр vржvvлвэл
h'h'' + h'h = 0
гарна. Тэгэхлээр
[(h')2 + h2]' = 0 = 2(h'h'' + h'h)
байна. Өөрөөр хэлбэл (h')2 + h2 чинь налуу функц байна. (Хэрвээ уламжлал нь бvх бодит тооны хувьд 0 бол функц нь налуу байдаг.) h(0) = 0, h'(0) = 0 гэсэн болохлээр
[h'(x)]2 + [h(x)]2 = 0 (бvх бодит х - ийн хувьд)
Энэ нь h(x)=0 налуу функц болохыг хэлж байна.
Теорем 31
Хэрвээ h функц нь 2-р эрэмбийн уламжлалтай (бvх бодит тооны хувьд), ба
h'' + h = 0,
h(0) = a,
h'(0) = b
бол h = b sin + a cos.
Баталгаа
g(x) = h(x) - b sin(x) - a cos(x) гэе. Тэгвэл
g'(x) = h'(x) - b cos(x) + a sin(x)
g''(x) = h''(x) + b sin(x) + a sin(x)
байна. Vvнээс h'' + h = 0, h(0) = 0, h'(0) = 0 болох нь харагдаж байна. Туслах теорем ёсоор бvх х - ийн хувьд
0 = g(x) = h(x) - b sin(x) - a cos(x)
h(x) = b sin(x) - a cos(x)
байна.
31 - р теоремийн ерөнхий тохиолдолыг бид дараа авч vзнэ. Харин энэ теорем бидэнд нэг чухал тригнометрийн адилтгалыг батлахад тусалдаг. (Ихэнх номнууд дээр энэ теоремийн баталгаанд геометр оролцдог. Харин бидний баталгаанд алгебраас өөр юм байхгvй!)
Теорем 32
Хэрвээ x, y хоёр нь зvгээр л бодит тоонууд бол
sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y).
Баталгаа
Дурын у - ийн хувьд
ф(х) = sin(x+y)
гэе. Тэгвэл
ф'(x) = cos(x+y)
ф''(x) = -sin(x+y)
байна. Vvнээс ф + ф'' = 0, ф(0) = sin(y), ф'(0) = cos(y) болох нь харагдаж байна. 31-р теорем ёсоор бvх х - ийн хувьд
ф(х) = sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
байна. Ямар ч у - ийг сонгож авч болох байсан болохлээр эхний томъёо нь батлагдлаа. Дараагийнх нь томъёог энэтэй төстэйгөөр баталдаг. Өөрөө оролдоод vзээрэй.
Бид өмнө нь
Пифагорийн адилтгал гэж нэрэлдэг sin2(x) + cos2(x) = 1 томъёоноос болон 32-р теоремоос янз бvрийн тригнометрийн адилтгалуудыг гаргаж авч болдог. Бид заримийг нь энд орууллаа.
x+y=a, x-y=b гэвэл x = (a + b)/2, y = (a - b)/2 байх ба
байна. sin(a)-sin(b), cos(a)-cos(b), cos(a)+cos(b) зэргийг бас иймэрхvv аргаар олдог.
байдаг. Баруун гар талд байгаа урт илэрхийллийх нь хvртвэр хувиарыг cos(x)cos(y) - д хуваавал (яагаад завал cos(x)cos(y) тохьромжтой гэж?)
гэсэн адилтгал гардаг. tan(x-y), cot(x+y), cot(x-y) зэргийг бас энэ маягаар олдог. (Ямар тоогоор хvртвэр хувиарийг нь яагаад хувааж байгааг ойлгож авах хэрэгтэй.)
г.м. - ийн юмнуудыг анхаарвал sin(x)cos(y), sin(x)sin(y), cos(x)cos(y) нартай тэнцvv адилтгалтуудыг хялбархан олж болно.
Чи энэ бvгдийг цээжлэх албагvй, харин зvгээр л эдгээрийг яаж олох аргуудыг нь мэдэж аваарай. Тэгвэл дараа хvссэн цагтаа олж чаддаг болно. (Зарим чухал хэдийг нь л цээжилчих.)
Эцэст нь x=y гэвэл бидний өмнөх адилтгалуудаас sin(2a) = 2sin(a)cos(a), cos(2a) = cos2a - sin2a гэсэн адилтгалууд гардаг. Энэ хоёрыг интегралчилах vйлдэлд хааяа нэг хэрэглэгддэг. (Бид дараа энэ тухай сурна.)
Бас нэг цээжлэх юм гэвэл
Нэгж тойргоо хар ухаанаараа санавал эдгээр утгууд sin, cos хоёрыг х, у тэнхлэгтэй 30 градус, 60 градусын өнцөг vvсгэхэдэд гардаг утгуудтай адил байна. Өөрөөр хэлбэл тэр зарим сурах бичгvvд дээр ирдэг том том хvснэгтvvдийг цээжлэх бол цагийн гарз, зvгээр л дээрх гурвын цээжлээд л, хаана нь эдгээр утга гардагийг мэдэж байх хэрэгтэй.
Тригнометрийн Функц (2-р хэсэг)
Бид sin(x), cos(x) функцvvдийн графикийг уламжлалыг нь ашиглаж байгаад хялбархан зурж болно. Тодорхойлогдох муж нь бvх бодит тоо, утгын муж нь [-1,1] билээ.
Бvх х - ийн хувьд f(x+a) = f(x) бол f функцийг vет функц гэж нэрэлдэг. a - г f функцийн vе гэнэ.
Бидний vзсэн тригнометрийн хоёр функц vет функц болохыг харж болно. Vе нь 2 болно.
sin(x), cos(x) хоёрыг л мэдэж байхад бусад тригнометрийн функцуудийг тодорхойлох хэцvv биш.
Энэ дөрвөн функцvvдийг хаана, яагаад тодорхойлогдоогvй болохыг ойлгоход хялбар: cos(x), sin(x) функцvvд 0 байхад. Тоог хэзээ ч тэгээр хувааж болохгvй!
Теорем 29
Энэ уламжлалуудыг цээжилчихэд илvvдэхгvй. (Ялангуяа интегралчилж байхад хэрэг болдог.) Гэхдээ мартсан vед энэ томъёонуудыг амархан олж болно. Бас энэ теоремийг өөрөө батлаарай. (Маш амархан. sec, tan, csc, cot функцvvдийнхээ тодорхойлолтыг харж байгаад л уламжлалуудыг нь олчих.)
sin(x), cos(x), tan(x) функцvvдийн урвуу функцvvд нь чухал. Эдгээр функцvvд нь Х.Н.У функц биш болохлээр бид тодорхойлогдох мужыг нь өөрчлөх хэрэгтэй.
sin(x) - ийг [-/2,/2] дээр тодорхойлоод, урвуу функцийг нь [-1, 1] дээр arcsin(x) гэж тэмдэглэдэг.
cos(x) - ийг [0,] дээр тодорхойлоод, урвуу функцийг нь [-1, 1] дээр arccos(x) гэж тэмдэглэдэг.
tan(x) - ийг (-/2,/2) дээр тодорхойлоод, урвуу функцийг нь (-, ) дээр arctan(x) гэж тэмдэглэдэг.
Техникийн мэдлэг дутуугаас болоод бид эдгээр гурван функцийн графикийг зурч чадахгvй. Гэхдээ мэдээж чи өөрөө л тодорхойлогдох муж, утгын муж эд нарыг нь ойлгож байвал графикийг нь харах тийм чухал биш.
sec(x), csc(x), cot(x) функцуудийн урвуу функцvvд нь нэг их хэрэглэгдээд байдаггvй болохлээр бид vзэхгvй.
Пифагорын теорем ёсоор cos2(x) + sin2(x) = 1 байна. Энэ чухал тригнометрийн адилтгалыг (өөр бас зөндөө олон адилтгалууд байдаг) бид маш их хэрэглэх болно. Жишээ нь, энэ адилтгал дараагийн теоремийн баталгаанд орно.
Теорем 30
Баталгаа
arccos(x) функцийн уламжлалыг бас иймэрхvv аргаар олдог.
cos2(a) + sin2(a) = 1 адилтгалын хоёр талыг cos2(a) - аар хуваахад tan2(a) + 1 = sec2(a) гэсэн адилтгал гардаг. Тэгэхлээр
байна.
Тригнометрийн Функц
Энэ хичээл дээрээ бид тригнометрийн функцvvдийг талбайгаар тодорхойлно. (Ихэнх сурах бичгvvд тойргийн уртыг ашигладаг.) Бас энэ хичээлийг ойлгоход радиан хэмжигдхvvн, нэгж тойргийн мэдлэг шаардагдана.
Тойргийн талбай A=r2, тойргийн урт C=2r (r нь радиус) байдгийг санавал нэгж тойргийн урт 2, талбай нь байна.
Хэрвээ х тойргийн урттай ямар нэгэн нэгж тойрог дээрх нум байвал тэр нум тойргийн бvх талбайн х/2 хэсгийг эзэлж байна. Тойрогийн талбай нь болохлээр:
байна.
Энд х/2 гэдгийн х чинь зvгээр л тойргийн нумын урт билээ. Харин абцисс дээр гарсан өөрчлөлтөөр энэ талбайг бас илэрхийлж байвал зvгээр байна. Нэгж тойргийг x2+y2=1 гэж тэмдэглэдгийг санавал
байна.
Дээрх зургийг ажиглавал бид саарал өнгөөр будсан талбай нь гурвалжингийн талбай дээр [x, 1] дээрх интегралыг нэмсэнтэй тэнцvv байгааг ажиглаж болно. Өөрөөр хэлэл, хэрвээ энэ тайлбайг T(x) - ээр тэмдэглэвэл
байна. Хэрвээ х нь хасах тоо байвал, иймэрхvv зураг гарна:
Ийм байвал
нь сөрөг гурвалжингийн талбай байх учир интегралаасаа хасаад бас л
байна. Тэгэхлээр T(x) функц нь [-1, 1] завсар дээр тодорхойлогдочихлоо.
Одоо бид тригнометрийн функцээ танилцуулна.
0 х байвал cos x нь
тэнцэтгэлийг хангах тоо ба
Өөрөөр хэлбэл х/2 гэсэн талбайтай нумыг тодорхойлдог нэгж тойрог дээрх P = (cos x, sin x) цэг л cos(x), sin(x) функцуудийг тодорхойлоод байна. (Энийг Пифагорын теоремтой харьцуулж сэтгэж vзээрэй.)
sin(x), cos(x) функцуудийг бид одоохондоо [0, ] дээр л тодорхойлчихоод байгаа билээ. Бvх бодит тооны хувьд энэ хоёр функцийн тодорхойлоё:
[, 2] дээр
sin x = - sin(2 - x)
cos x = cos(2 - x)
гэж тодорхойлдог. Эдгээр функцvvд нь vет функцvvд учир (бид энэ тухай дараа дэлгэрэнгvйгээр ярилцах болно.) хэрвээ к нь натурал тоо ба, х' нь [0, 2] завсарт оршдог бол
sin x = sin x'
cos x = cos x'
байна. Бид sin(x), cos(x) хоёр функцийг бvх бодит тооны олонлог дээр тодорхойлчихлоо.
Дээр бид тригнометр гэж зааж өгөөгvй байж байж баахан тригнометр оролцуулсан уламжлал чамаар олуулсан билээ. Мэдээж sin'(x) = cos(x), cos'(x) = - sin(x) гэдгийг л мэдэхэд хангалттай байсан. Одоо энийгээ батлая.
Теорем 28
sin'(x) = cos(x)
cos'(x) = - sin(x)
Баталгаа
B = 2T гэе. Тэгвэл Т(cos x) = x/2 гэсэн тодорхойлолтоо B(cos x) = x гэж бичиж болно. Өөрөөр хэлбэл cos нь B - гийн урвуу функц байна.
байгааг бодож олвол,
байна. Бас
байна.
Ньютон - Лейбницийн Теорем
Хоорондоо ямар ч холбоогvй мэт харагдах уламжлал интеграл хоёрыг холбодог энэ теорем нь гайхалтай гэмээр энгийн. Баталгаа нь ч хялбар.
Бид гол зорьлогоо дахин нэг хэлнэ: функцийг дээд, доод нийлбэрvvдийг нь олно гэж ядаргаатахгvйгээр интегралчихал. (f(x)=x2 функцийн интегралыг тэгэж олох ямар хэцvv байсныг санаж байна уу?) Бид өмнө нь F(x) функцийг тодорхойлж байсан. Хэрвээ энэ функцийн хялбар томъёог олоодохвол интегралыг хялбарханаар олох гээд байна. Гэхдээ яг F(x) функцрvv дайраад юу ч олж долоохгvй. Харин F - ийн уламжлалруу дайрвал яах бол?
Ньютон - Лейбницийн Теорем (1-р хэсэг)
[a, b] завсар дээр интегралтай f функц байг. Бас гэе. Хэрвээ f нь [a, b] завсарын дурын c дээр тасралтгvй бол F(c) нь c дээр уламжлалтай ба F'(c)=f(c).
Баталгаа
c=a, с=b тохиолдолыг дасгал болгож vлдээх учраас бид с (a, b) завсард байх тохиолдолыг батлана. Тодорхойлолт ёсоор
байдаг. h > 0 гэвэл
байна.
mh = inf {f(x) : c x c+h}
Mh = sup {f(x) : c x c+h}
гэж тодорхойлвол 25-р теорем ёсоор
байна. h<0 тохиолдолыг энэ мэтээр бодоод бас л (1) тэнцэтгэл биштэй хоцроно. f функц c дээр тасралтгvй болохлээр, тодорхойлолт ёсоор
байна. F'(c) нь f(c) функцээс их (тэнцvv байж болно), бас бага (бас л тэнцvv байж болно) учраас эцсийн эцэст F'(c)=f(c) л байж таарна!
Энэ теоремийг яагаад vнэн гэдгийг зvгээр хар ухаанаар харж болно. F(x) функц чинь f функцийг зvvн, баруун талруу явахад vvссэн дvрсийн талбай учраас F - ийн уламжлал, өөрөөр хэлбэл тэр агшин зуурт "бий болсон" талбай нь яг тэр мөчдөх f - ийн утга л байж таараа.
Бас нэг юмийг ажиглаж болно. Хэрвээ
бол G'(c) = -f(c) байна. Хэрвээ x
Интеграл (2-р хэсэг)
Хичээлээ шууд нэг жишээгээр эхлэе. f(x) - ийг [0,2] дээр
гэж тодорхойлоё. P хуваалт дээр tк-1<10 - гийн хувьд
U(f,P) - L(f,P) <
байлгаж чадна. tк - tк-1 < байхад л хангалттай байна.
байна.
Практик амьдралд иймэрхvv тасралттай функц интегралчилах нь ховор л доо. Гэхдээ чамайг функц тасралттай л бол интегралгvй гэсэн юм байхгvй гэдгийг л ойлгуулах гэсэн юм. Бид интегралчихлах vйлдэлийг (яаж интегралын олох) Ньютон - Лейбницийн Теоремийг vзсэнийхээ дараа vзэх болно. Гэхдээ энэ томъёогvйгээр интеграл олох vйлдэл ямар хэцvv болохыг vзvvлэе.
f(x)=x2 гэе. Бид хялбарыг бодож [0, b] дээр f - ийг интегралчлах болно. Хэрвээ P - гийн хуваалтуудыг (ti-ti-1) уртаараа хоорондоо адилхан гэж vзвэл бvгд b/n гэсэн урттай байна. Тэгвэл t0=0, t1=b/n, t2=2b/n,..., ti=ib/n байна. Тэгэхлээр
байна. 12+...+k2=(1/6)k(k+1)(2k+1) байдгийг санавал
байна. Өөрөөр хэлбэл L(f,P) b3/3 U(f,P) буюу,
байна. Энэ юу гэсэн vг вэ? Бид одоо дараах дvрсийн талбайг олж чадна:
Жишээ нь, яг ийм талбайг b=3 vед олъё. Тэгвэл 27/3=9 байна!
За ингэж инегралын олох нь маш төвөгтөй байсан. Нэг сайхан мэдээ дуулгахад бид дараагийн хичээл дээр интегралуудыг голдуу маш амарханаар олоход тусалдаг нэг теоремийг vзэх болно (Ньютон - Лейбницийн теорем). Бид одоо бас нэг хэдэн теоремийг баталгаагvйгээр vзнэ. (Дараа завтай болоод ирэхлээрээ тусд нь батлахын бодолцоё. Гэхдээ баталгаанууд нь тийм их сонирхолтой биш, бас теоремнууд маань ойлгомжтой байна.)
Теорем 21
a < c < b гэе. Хэрвээ f функц [a, b] дээр интегралтай бол f нь [a, c] дээр болон, [c, b] дээр интегралтай ба
болно.
Теорем 22
Хэрвээ f, g хоёр [a, b] дээр интегралтай бол f+g нь [a, b] дээр интегралтай ба
болно.
Теорем 23
Хэрвээ f, g хоёр [a, b] дээр интегралтай бол fg нь [a, b] дээр интегралтай.
Теорем 24
Хэрвээ f нь [a, b] дээр интегралтай бол дурын бодит тоо с байхад cf нь [a, b] дээр интегралтай ба
болно.
Теорем 25
Хэрвээ f нь [a, b] дээр интегралтай ба [a, b] завсарын хоорондох бvх х - гийн хувьд m f(x) M бол
болно.
Баталгаа
Ямар ч P хуваалтын хувьд m(b-a) L(f,P), U(f,P) M(b-a) байх нь ойлгомжтой байна.
Теорем 26
Хэрвээ f нь [a, b] дээр интегралтай ба F - ийг [a, b] дээр
гэж тодорхойлвол F нь [a, b] дээр тасралтгvй байна.
За нээрээ vнэхээр завтай болоод ирэхлээрээ эдгээр теоремуудыг баталгааг хавсралт болгож оруулна аа... Энэ теоремнууд хичнээн чухал болохыг бид интегралчлаад ирэхлээрээ аяндаа харна.
Интеграл (1-р хэсэг: тодорхойлолт)
Уламжлалаас гадна интеграл нь анализын бас нэг чухал ухагтхуун юм. Vнэндээ уламжлал нь интегралтай нийлж байж л "хэргээ" vзvvлдэг. Интегралын ухагтхуун нь анх хvн төрлхтөний эртнээс судалсаар ирсэн хавтгайн талбайг олохоор гарч иржээ.
Талбай. Бид бага ангиасаа л дөрвөлжин, гурвалжин, бөөрөнхий, зуйван гэх мэтийн геометрийн дvрсvvдийн талбайг олсоор ирсэн. Гэхдээ
хэлбэртэй дvрсийн талбайг яаж олох вэ? Ямар ч геометрийн томъёо, дvрэм, арга энэ дvрсийн яг нарийн талбайг олж чадахгvй нь мэдээж. Тиймээс ч хvмvvс анх интегралын тухай бодож эхэлсэн бизээ. Ямар нэгэн f(x)>0 функц [a, b] завсар дээр өгөгдсөн байхад иймэрхvv "хэвийн биш" дvрс гарч ирж байна. Ер нь ингэж өгөгдсөн талбайг бид T(f, a, b) гэж тэмдэглэж байх болно. Шууд очоод талбайг нь олчихож чадахгvй болохлээр энэ дvрсийгээ дөрвөлжингvvдэд хуваая:
Бид [a, b] гэсэн завсараа [t0, t1], [t1, t2], [t2, t3], [t3, t4] гэсэн дөрвөн завсарт хуваалаа. Энэ цагааш хойш бид ингэж бичихдээ vргэлж а=t0< t1 <...< ti-1 < ti = b байх болно. (Бид дандаа ингэж тэмдэглэж байна.)
f нь [a, b] дээр тодорхойлогдсон ба P - г [a, b] - ийн хуваалт гэж vзье. Хэрвээ mi нь [ti , ti-1] дээрх min, Mi нь [ti , ti-1] дээрх max бол бид доод нийлбэрийг L(f, P) гэж тэмдэглээд,
гэж, дээд нийлбэрийг U(f, P) гэж тэмдэглээд,
гэж тус тусд нь тодорхойлог.
Бидний дөнгөж сая хэрэглэсэн тэмдэг нь (Грекийн сигма vсгээр тэмдэглэсэн) нь зvгээр л нийлбэрvvдийг тэмдэглэдэг ба хэдэн жишээ авч vзвэл:
г.м байна.
Бид хоёр юмийг анхааруулах ёстой. Нэгдvгээрт, дээрх тодорхойлолтууд vнэн байхын тулд функц маань тухайн [a, b] завсар дээр хязгаартай байх ёстой. (Гэхдээ заавал тасрталтгvй байх албагvй.) Жишээ нь, {00 гэхэд f(x)--> гэж байна. Хоёрдугаарт, завсар маань хаалттай завсар байх ёстой. Жишээ нь, [a, b]. Онгорхой завсар байж болохгvй. Жишээ нь, (a, b). Яагаад гэдгийг анализд бvр эхнээс нь vзэх нь чухал. (Бодит тоонуудын байгуулалт, бодит тоонуудын чанар, г.м...). Бид цаг завын vvднээс иймэрхvv анализийн нарийн (бас мэдээжийн бөгөөд уйтгартай байж болох) ухагдхуунуудыг vзэлгvй орихно.
Нэг юм илэрхий байна. Ямар ч Р1, Р2 хоёр хуваалт сонгон авсан L(f,P1) U(f,P2). Учир нь, хар ухаанаар бодвол, ямар ч доод нийлбэр нь функцийн талбайгаас бага, ямар ч дээд нийлбэр нь функцийн талбайгаас их билээ.
Бид интегралтай холбоогvй болов ч, интегралын vзэхэд тусалдаг бас нэг юмийг энд тодорхойлох хэрэгтэй.
А олонлогийн гишvvн болгоныг а - гаар тэмдэе, бас х нь А - д байдаг гэе. Хэрвээ дурын а - гийн хувьд х а бол х - ийг inf {A} гэж тэмдэглэдэг. Хэрвээ дурын а - гийн хувьд а х бол х - ийг sup {A} гэж тэмдэглэдэг.
А хязгаартай байж байж л inf, sup хоёртой байна гэдгийг анхаарна уу. (Энэ бол зvгээр л ямар нэгэн тоог тэгээр vржvvлвэл тэг гарна гэдэгтэй адилхан бодит тоонуудын нэг чанар.) За одоо буцаад интегралдаа...
Ямар ч P, P' хуваалтуудын хувьд,
L(f,P') sup {L(f,P)} inf {U(f,P)} U(f,P')
байна. Хэрвээ sup {L(f,P)} = inf {U(f,P)} бол энэ тоо л T(f, a, b) байж болох гээд байна. (зvгээр л хар ухаанаар бодвол) Одоо бид хvсэн хvлээсэн интегралаа тодорхойлно:
f функц [a, b] дээр тодорхойлогдсон ба энэ завсар дээр хязгаартай гэе. Хэрвээ sup {L(f,P)} = inf {U(f,P)} бол f функц маань [a, b] дээр интегралтай ба энэ тоог f функцийн интеграл гэнэ.
Интгегралыг бид
гэж тэмдэглэдэг. (Интегралын тэмдэг нь Латин хэлний sum буюу нийлбэр гэсэн vгний s - ээс гаралтай.) Интегралыг тодорхойлох өшөө олон арга байдаг, бидний vзсэн энэ арга бол тэдгээрийн нэг нь болно. Бид зарим теоремуудынхаа баталгаанд тэдгээр тодорхойлолтуудыг ашиглах болохлээр чи тэдгээрийн сурж авах хэрэгтэй шvv. Бид дараагийн хичээл дээрээ хэдэн жишээг хэдэн теоремтой авч vзнэ. (Аль нь ч энэ хичээл дээр байхгvй байсан бол уучлаарай!)
Интегралын тэмдэглэгээний тухай ярья. xi-xi-1 гэх мэтийн "х - д гарсан өөрчлөлтийг" зарим хvмvvс хi гэж тэмдэглэдэг. Интегралыг бичихдээ бид
гэж тэмдэгvvдийг нь солиод,
гэж сольж бичдэг. (Энэ хоёрын аль нь эвтэйхэн харагдаж байна?
) "dx" гэдэг нь Лейницийн тэмдэглэгээний dx - тэй төстэйг харж болно.Урвуу Функц
Бид дээр функцийг (х, у) хос тоонуудыг цуглуулга гэж ярьж байсан. Энэ хоёр тоог солиод, (у, х) гэсэн хос тоо гаргаж болохоор санагдаж байна. Бид энэ санааг энэ хичээлдээ улам дэлгэрvvлэн бодно.
Ямар ч - ийн хувьд, ху байхад f(x)f(y) бол f функцийг харилцан нэг утгатай (Х.Н.У) функц гэдэг.
Жишээ нь f(x)=х2 функц Х.Н.У функц биш байна. Яагаад гэвэл (-1)2=(1)2 байна. Ер нь тэгш функц болгон Х.Н.У функц биш болохлыг харж болно. Харин х2 функцийн тодорхойлогдох мужыг өөрчлөөд Х.Н.У функц гарган авч болно: f(x) = { [0, ) дээр x2 }. Х.Н.У функцvvдийг графикаас бvр амархан харж болно:
Цэнхэр функц Х.Н.У функц биш байна. (Хар шугам цэнхэр функцийг хоёр удаа огтолж байна.) Харин ногоон функц Х.Н.У функц байна. (Ногоон функц хар шугамыг яаж ч байсан нэгээс илvv огтлохгvй байна.)
Хэрвээ (b, a) хос тооны цуглуулга f функцийг бvрдvvлдэг бол (a, b) хос тооны цуглуулгыг f -1 гэж тэмдэглэдэг. Хэрвээ f -1 нь функц бол бид энэ функцийг f - ийн урвуу функц гэж уншдаг.
Теорем 17
Зөвхөн f нь Х.Н.У байхад л f -1 нь функц байна.
Баталгаа
f -1 - ийг функц гэж бодъё. f(b)=f(c) гэвэл f - д (b, f(b)), (c, f(c)) гэсэн хос тоонууд байна. (c, f(c))=(b, f(c)) болохлээр (f(b), b), (f(c), c) хос тоонууд нь f -1 - д байна. Бид f -1 - ийг функц гэж vзэж байгаа болохлээр b=c байна. b=c гэдэг маань f - ийг Х.Н.У функц байх ёстой гэж байна.
f -1 функцийн графикийг бид f функцийн графикийг g(x)=x функцийн график дээгvvр ойлгож зурж болдог (хос тоонуудыг нь сольж тавьдаг болохлээр).
Хэрвээ f -1 - ийн графикийг дахиад х дээгvvр ойлговол бид f функц дээрээ буцаад ирж байна. Тэгэхлээр (f -1)-1=f байх нь. Энэ нь бас нэг чухал юм хэлж өгч байна. Урвуу функцийн урвуу функц нь функц юм чинь урвуу функц болгон Х.Н.У функц байна.
(a, b) нь f - д байхад, (b, a) нь f -1 - д байдаг билээ. Тэгэхлээр b = f(a), а = f -1(b) хоёр нь адилхан утгатай билээ. f -1(x) = y гэвэл f(y) = x байна. Тэгэхлээр
f(f -1(x))=x байна. (f -1 - ийн тодорхойлогдох муж дээр)
f -1(f(x))=x байна. (f - ийн тодорхойлогдох муж дээр)
Тодорхойлолт ёсоор, y=f(x) функцийн урвуу функцийг олохдоо бид x, y хоёрыг нь "сольчихдог". Тэгээд тэр тэнцэтгэлийнхээ у - г олно. Жишээ нь, y=(x-1)3 гэвэл энэ функцийн урвуу функц нь х=(у-1)3 байна. Тэгэхлээр
у-1=х1/3, у=х1/3+1 байна. Ерөнхийдөө ойлгомжтой болохлээр бид дараах хоёр теоремийг баталгаагvйгээр vлдээлээ:
Теорем 18
Хэрвээ f нэртэй Х.Н.У функц нь тодорхой завсар дээр тасралгvй бол f нь энэ завсар дээр нэг бол өсөж, нэг бол буурж байна. (Өсөх, буурах хоёрын аль нэг нь, хоёулаа биш.)
Теорем 19
Хэрвээ f нэртэй Х.Н.У функц нь тодорхой завсар дээр тасралтгvй бол f -1 нь бас тасралтгvй.
Дээрх теоремуудыг яагаад vнэн болохыг ингэж ойлгож болох юм (гэхдээ энэ бол баталгаа биш): 18-р теоремийн хувьд хараажаар ямарваа нэгэн функц нь өсөж (буурж) байж л "хавтгайрахаас" зайлсхийнэ. 19-р теоремийн хувьд, бид f функц дээр 13-р теоремийг ашиглаж болно. Хэрвээ f функц [a, b] дээр өсөж (буурж) байвал [f(a), f(b)] - д ямар ч "завсар зай" байхгvй. Тэгэхлээр f -1 функцийн тодорхойлогдох муж нь [f(a), f(b)] байна. Утгын муж нь мэдээж [a, b]. Энэ завсарт бас ямар ч "завсар зай" байхгvйг бид мэднэ (учир нь функцvvд маань эдгээр завсарууд дээр тасралтгvй.) Харин энэ теоремийг яг батлахын тулд бид яг хуучин хязгаарын , зэргийг ашиглах хэрэг гарна.
Одоо бид f -1 функц тасралтгvй болохыг мэдсэн болохлээр: уламжлал!
Теорем 20
Хэрвээ f нэртэй Х.Н.У функц нь тодорхой завсар дээр тасралтгvй, f -1(b) дээр уламжлалтай ба
(f -1(b)) 0 бол f -1 нь b дээр уламжлалтай ба
болно.
Баталгаа
(f -1(х)) = х болохыг бид мэднэ. 8-р теорем ёсоор
(1) (f -1(b)) (f -1)'(b) = 1
байна. Нэгдvгээрт, бид анхнаасаа (f -1(b)) 0 гэж хэлсэн. Бас f -1 нь тодорхой завсар дээр Х.Н.У функц болохлээр (f -1)' 0 байна. Тиймээс (1) тэнцэтгэл биелэнэ. Өөрөөр хэлбэл
Нэг юмийг ажиглавал, хэрвээ (f -1(b)) = 0 бол f -1 нь b дээр уламлалгvй байна. Итгэхгvй бол (1) - д дээрх илэрхийлэлийг оруулаад vз.
Урвуу функц дараа нь биднийг тригнометр, логрифмийн функцvvдийг vзээд эхлэхээр маш чухал болж ирнэ. Тэгэхлээр чухал биш юм шиг энэ хичээлийг тоохгvй орхиж болохгvй шvv! (Ялангуяа урвуу функцийн уламжлалыг санаж яваарай.)
Функцийн Графикийг Зурах
Бид уламжлалыг ашиглаад функцийг нэлээд дэлгэрэнгvйгээр судалж болохыг vзсэн. Энэ судалгааны дvн нь голдуу функцийн графикийг зурахад хангалттай байдаг.
Ямар нэгэн f функц өгөгдсөн байлаа гэж бодъё. Тэгвэл f функцийн графикийг зурахын тулд бид дараах зvйлсийг олох хэрэгтэй:
* Сэжигтэй цэгvvд
* Сэжигтэй цэгvvд дээрх f - ийг утга
* Сэжигтэй цэгvvд ойрын max (min) мөн эсэхийг
* f функц язгууртай бол язгууруудыг нь (f(x)=0)
* f функц х-->, x-->- гэхэд яаж байгааг
* f функц хэрвээ ямар нэгэн цэг юм уу цэгvvд дээр тодорхойлогдоогvй бол тэр цэгvvд дээр f функц яаж байгааг
* Бvр нарийн график авъя гэвэл функцийн хотгор, гvдгэр байгаа хэсгvvдийг олох
Хэдийгээр энэ нь их олон юмнуудыг олоход заримдаа их цаг зав авдаг болов ч энэ арга нь зарим "төвөгтөй" буюу "хэцvv" функцvvдийн графикийг нарийнаар зурах цорын ганц арга билээ. Дээрх зvйлсvvдийг яаж олдогийг санахгvй байгаа бол өмнөх гурван хичээлvvдийг давтаад нэг vзээрэй. Мөн хэрвээ функцийн графикийн зарим нэг юм нь ойлгомжтой бол дээрх жигсаалтанд байгаа юмнуудыг бvгдийг нь олох шаардлагагvй.
Одоо нэг жишээ авч vзье. f(x) = x3-4x2+4x гэе. Эхлээд бид сэжигтэй цэгvvдийг олно.
(х) = 3x2-8x+4 = (3х-2)(х-2) = 0, х = 2/3, 2. Энэ хоёрыг max (min) мөн эсэхийг бид хоёр аргаар шалгаж болдогийг өмнө нь vзэж байсан. Энэ тохиолдолд функцийн маань 2-р эрэмбийн уламжлал амархан олдож байна. Тэгэхлээр бид дараах аргыг хэрэглэх болно (Хэрвээ функцийн 2-р эрэмбийх нь уламжлал олоход хэцvv юм уу, сэжигтэй цэгvvг дээрээ 0 - тэй тэнцvv бол нөгөө аргыг нь хэрэглээрэй):
(х) = 6х-8, (2/3)<0, (2)>0 байна. Бидэнд яг - ийн сэжигтэй цэгvvд дээрх утга хэрэггvй, зөвхөн тэмдэг нь хэрэгтэй болохыг санахад илvvдэхгvй. (Эерэг vv, сөрөг vv?) 13-р теорем ёсоор f функц маань 2/3 дээр ойрын max - тай, 2 дээр ойрын min - тэй байна. Одоо f(2/3) = 32/27 = 1.(185), f(2) = 0 гээд бодчиход илvvдэхгvй.
f функцийн язгууруудыг олъё. f(x) = x3-4x2+4x = х(х-2)2 байна. Тэгэхлээр х = 0, 2 байна. (х-2) нь тэгш зэрэгтэй байсан болохлээрээ функцийн график нь эерэг байж байгаад, тэгд ойртоод, тэгийг шvргээд буцаад эерэг болоод явж байгааг анхаарвал ажил их хөнгөрнө.
Энэ функцийн график бол одоо ойлгомжтой болсон байх ёстой. Хэрвээ хотгор, гvдгэрийг нь vзье гэвэл (х) = 6х-8 = 0, x = 4/3 гэдгийг харж болно. За одоо дvнгvvдээ нэгтгээд графикаа зурая:
Одоо бас нэг жишээ авч vзье.
f(x) = (x2)/(x2-1) гэе.
(х) = -(2х)/(x2-1)2 = 0, х = 0 байна. (х) - г олно гэж төвөг учруулж байснаас бид max (min) - ийг олох өөр, нөгөө аргыг нь хэрэглэх болно.
(-, 0) дээр >0, (0, ) дээр <0 учир f(0) ойрын max байна.
Итгэнэ vv, байна уу өөрөө л мэд, гэхдээ энэ функцийн график одоо маш тодорхой байна: 0 дээр функц маань ойрын max - тай, f(0) = 0, ба -1, 1 хоёр дээр функц маань тодорхойлогдоогvй байна. х-->-1, 1 гэхэд f-->- байх нь тэгэхлээр ойлгомжтой байна. Учир нь х нэгд ойртох тусам функцийн маань хуваагч нь багассаар байна. Ямар нэгэн тоог маш бага тоогоор хуваахад асар том тоо гардаг даа.
Одоо тэгвэл нэг л юм олох vлдсэн байна.
,
байгааг олж болно. Эхнийх дээр нь зvгээр л х их том болоход (их бага болоход) f(x) яах вэ? гэдгийг л олж байна. Энэ тохиолдолд f(x) нь нэгд ойртож байгааг харж болох юм. Дараагийх дээр нь х гадна талаас нь -1, 1 хоёрт ойртоход f(x) --> гэдгийг оллоо. (- уу, эсгvй бол уу гэдэг нь эргэлзээтэй байсан.) Одоо эдгээрийг нэгтгээд графикаа зуръя:
x нь -1, 1, -, - д ойртоход юу болж байгааг сайн анзаараарай. Мэдээж зөвхөн цэнхэр өнгөтэй нь л бидний зурсан график, бусад шугамнууд нь зvгээр л энэ графикийг тайлбарлах vvрэгтэй юм.
Функцийн графикийг зурахад сайн болох нэг л арга байдаг: давтах. Олон төрлийн функц авч vз. Би удахгvй дасгал оруулна, тэгэхлээр тэрийг бvгдийг нь ч болтугай бод (зур). Бид интеграл vзсэнийхээ дараа тригнометр, илтгэгч, логрифмийн функцvvдийг авч vзэх болно. Тэгэхлээр мэдээж шинь дасгалууд ороод ирнэ!
Уламжлалын Хэрэглээ (3-р хэсэг)
Дараах теорем нь 11-р теоремийн ерөнхий тохиолдол юм.
Теорем 14
f, g хоёр функц нь [a, b] завсар дээр тасралтгvй ба (a, b) завсар дээр уламжлалтай бол
g'(x)[f(b) - f(a)] = (x)[g(b) - g(a)]
тэнцэтгэлийг хангах х нь (a, b) завсараас олдоно.
(g(x)=x байхад бид 11-р теоремийг авч байна.)
Баталгаа
h(x) = f(x)[g(b) - g(a)] - g(x)[f(b) - f(a)] гэе. h(x) бас [a, b] завсар дээр тасралтгvй ба (a, b) завсар дээр уламжлалтай байна. h(a) = f(a)g(b) - g(a)f(b) = h(b) байгааг анхаарвал 10-р теорем ёсоор h'(x) = 0 тэнцэтгэлийг хангах х - ийг бид (a, b) завсараас олж чадна. Тэгэхлээр
0 = (x)[g(b) - g(a)] - g'(x)[f(b) - f(a)] байна.
Энэ теорем бидэнд дараах теоремийг батлахад туслана:
Теорем 15
ба гэе. Хэрвээ хязгаар тодорхой байвал хязгаар тодорхой байх ба,
тэнцэтгэл биелэнэ.
Баталгаа
хязгаар тодорхой байна гэдэг маань бидэнд (a-, a+) завсар дараахыг vнэн байхаар олдоно:
1. (x), g'(x) хоёр функц энэ завсар дээр тодорхой байна. (а дээр харин тодорхой байх албагvй)
2. Энэ завсар дээр g'(x)0 байна. (а дээр харин ийм байх албагvй)
f(a)=g(a)=0 гэвэл f, g хоёр функц маань а дээр тасралтгvй болж байна. a < x < a+ гэвэл 11, 14 - теоремууд [a, x] дээр ашиглагдахаар байна. Эхлээд g(x)0 байгааг мэдэж болно. Учир нь, хэрвээ g(x)=0 байсан бол 11-р теорем ёсоор g'(b)=0 гэсэн b - г (a, x) дотроос олж болно. Энэ нь
- той зөрчилдөж байна. g(x)0 гэсэн болохлээр бид 14-р теоремийг ашиглаж болно. 11-р теорем ёсоор бидg'(y)[f(x)-0] = (y)[g(x)-0]
тэнцэтгэлийг хангах у - г (а, х) завсараас олж болно. Хэрвээ х-->a байвал y-->a байна. Яагаад гэхлээр у чинь (а,х) дотор байгаа билээ. Тэгэхлээр
байна.
Бид тригнометрын функцvvдийг vзсэнийхээ дараа л 15-р теоремийг ашиглана. Энд уламжлалтай холбоотой болохлээр нь баталчихлаа.
Функцийн график зурж сурахад одоо бидэнд нэг л юм vзэх vлдлээ. Энэ нь функцийн 2-р эрэмбийн уламжлалын ашиглалт юм. Бид 2-р эрэмбийн уламжлалыг ашиглаад нэг чухал юмийг олж мэддэг, тэр нь:
Хэрвээ ямар нэгэн завсар дээр оршдог дурын хоёр (а, f(a)), (b, f(b)) хоёр цэгийг холбосон шулуун шугам f функцийн графикийн дээр оршиж байвал f функцийг бид хотгор функц гэж нэрэлдэг.
Бид f функцыг яагаад хотгор гэж нэрлэж байгааг энэ зураг дээрээс харж байна. Яг vvний эсрэгийг гvдгэр функц гэж нэрэлдэг. Бид голдуу хотгорын тухай ярина. Учир нь гvдгэр нь хотгорын яг эсрэг нь байдаг болохлээр ойлгомжтой гэсэн vг.
Тэр шулуун шугамыг функцээр илэрхийлээд, f(x) тэй жишвэл
байн. Тэгэхлээр, хэрвээ а< b гэе.
гэвэл g''>0 (өөрөөр хэлбэл g' өсөж байна), бас g(a)=g(b)=f(a) байна. Тэгвэл а < x < b - г хангах х болгоны хувьд
g(x) < g(a) = g(b)
байна. Учир нь, хэрвээ эсэргээр нь g(x) > g(a) = g(b) бол бид (a, b) дотроос g(x1) - г max байхаар х1 олно. max болгон дараах шинж чанартай байдаг: g(x1)>g(a), g'(x1)=0. Хэрвээ бид 11-р теоремыг [a, x1] хэсэг дээр ашиглавал бид
- г хангах х2 - ийг олно.
Энэ нь g' өсөж байна гэдэгтэй зөрчилдөж байна. Тэгэхлээр ямарч байсан g(x)g(a)=g(b) байна. g(x)=g(a) гэдгийг батлах л vлдлээ.
Хэрвээ g(x)=g(a) байсан бол g(x1)< x1< x гэсэн х1 байна. (Учир нь g(x) маань [a, x] дээр шугаман функц биш.) Одоо дахиад л 11-р теоремийг [x1, x] завсар дээр ашиглая. Тэгэлхээр бид
- г хангах х2 - ийг олно.
Энэ нь бас л g' өсөж байгаа гэдэгтэй зөрчилдөж байна. За тэгэхлээр бид
g(x) < g(a) = g(b)
байхын баталчихлаа. Тиймээс, хэрвээ a0 -> g''<0) g'' функц маань тэгээр дайрч гарах хэрэгтэй байна. Бид g''(x)=0 байгаад, функц маань хотгороос гvдгэртлvv шилжиж байвал х - ийг хувьрах цэг гэж нэрлэх болно. Нэг юмийг анхааруулая: g''(x)=0 гэсэн л бол х нь хувьрах цэг гэсэн vг биш шvv! Хувьрах цэг байхын тулд х - ийн хоёр талд g'' маань сөргөөс эерэгрvv, эсгvй бол эерэгээс сөрөгрvv шилжэж байх ёстой. Нөгөө тохиолдол болох эерэгээс (сөрөгөөс) тэгд ойртож, тэгийг шvргэчихээд буцаад эерэг (сөрөг) - рvvгээ тэмvvлэх функцvvдийн хувьд тухай цэг нь хувьрах цэг биш байна. Яагаад гэдгийг ойлгохын тулд геометрийн дvрслэлээр л толгойндоо бодох хэрэгтэй.
Дээрх зургийн сайн ажиглая. (-, 0) завсар дээр функцийн маань уламжлал багасаж байгааг (эерэг -> сөрөг), (0, ) завсар дээр функцийн маань уламжлал ихсэж байгааг (сөрөг -> эерэг) сайн ажиглана уу? 2-р эрэмбийн уламжлал бас яаж өөрчлөгдөж байна?
Бид одоо max, min, хотгор, гvдгэр, функц тодорхойгvй цэгийн дэргэд яадад вэ, хувьрах цэг, сэжигтэй цэг зэргийг vзлээ. Эдгээрийг нийлvvлж байгаад одоо функцийн графикийг өөрсдөө зурж эхлэнэ дээ! Хэдийгээр ийм олон юм байгаа болов ч функцийн графикийг зурах ажил нь олон дасгал хийсний дараа аяндаа амархан болдог (их л ажил орохоос биш).
Уламжлалын Хэрэглээ (2 - р хэсэг)
Бид өмнө нь өсөж байгаа функц, буурж байгаа функц гээд л ярьж байсан билээ. Одоо энэ хэллэгээ арай тодорхой болгоё:
a, b хоёр тоо нь f функц тодорхойлогдсон завсарт багтдаг гэе. Хэрвээ а < b болгонд f(a) < f(b) (эсэргээр нь f(a) > f(b) байна) байвал f функцийг тухайн завсар дээр өсөж (буурж) байна гэдэг.
Теорем 12
Тодорхой завсарын бvх х - гийн хувьд (x) > 0 ((x) < 0) байвал f функц тэр завсар дээр өсөж (буурж) байна.
Баталгаа
(x) > 0 тохиолдолыг нь л авч vзье, яагаад гэвэл нөгөө тохиолдолыг нь төсөөтэй аргаар баталж болно. Хэрвээ a, b хоёр нь тухайн завсарт багтдаг ба a < b бол 11-р теорем ёсоор
- г хангах х олдоно. х чинь өөрөө (a, b) завсарт багтаж байгааг анхаарна уу. (x) > 0 гэж хэлсэн болохлээр
байна. b - a > 0 болохлээр f(b) - f(a) > 0 байна.
Бид өмнө нь max, min хоёрыг олохдоо (x) = 0 тэгшитгэлийг бодож байсан. Гэхдээ х - г олсныхоо дараа f - ийг х дээр max - тай байгаа юм уу, min - тэй байгаа юм уу гэдгийг яаж мэддэг юм бэ? Мэдээж буцаад функцэндээ х - ийгээ оруулж болно. Гэхдээ функцээ х - дээр ойрын max (min) - тэй байгааг яаж мэдэх вэ? Доорх зургийг сайн ажиглавал бид яах хэрэгтэйг олж болно:
Дээрх зурган дээр f ойрын max - тай байна. Тэгэхлээр хэрвээ ямар нэгэн тасралтгvй функц х хvртэл өсөж байснаа х - ээс хойш буураад эхэлвэл мэдээж х чинь ойрын max. (Энийг овоогоор сэтгэж болно) Ойрын min - ийг яг эсэргээр нь сэтгэж болно (жалга гээд бодвол, эхлээд уруудаж байснаа дараа нь өгсөөд эхэлдэг шvv дээ!). Бид функцийг эхлээр өсөж байснаа дараа буурах болно гэж хэлж байна, яагаад гэдэг нь бас л ойлгомжтой байх ёстой. Яг энэ цэг дээр (x) = 0 байгааг анхаарах хэрэгтэй. Тэгээр дайрч өнгөрөхийн тулд эхлээд сөрөг байж байгаад, дараа нь эерэг болно оо доо.
Ер нь f(x) = anxn + an-1xn-1 + ...+ a0 хэлбэрийн функцийн ерөнхий тохиолдолыг авч vзье. Эхлээд ийм тэгшитгэл байсан гэж бодъё. Тэгвэл энэ тэгшитгэлд n - ээс олон хариу байж болохгvй. Одоо vvнийгээ батлая.
Хэрвээ х1, x2 хоёр тоо энэ тэгшитгэлийн язгавар нь бол, өөрөөр хэлбэл f(x1)=f(x2)=0 бол, 10 - р теорем ёсоор х1, x2 хоёрын завсар (x) = 0 - г хангах х байна. Тэгэхлээр хэрвээ f тэгшитгэл к язгууртай байсан бол (х1< x2< ... < xk) тэгшитгэл дор хаяж к-1 язгууртай байна. Одоо математик индукцийн арга хэрэглэе. n = 1 байхад тэгшитгэл маань нэг язгууртай байна. g' тэгшитгэл n - ээс олон язгуургvй гэе, тэгвэл g тэгшитгэл n + 1 - ээс олон язгуургvй. Яагаад гэвэл, хэрэв g функц n+1 - ээс олон язгууртай бол g' тэгшитгэл n - ээс олон язгууртай болчихгоод байна.
Одоо бид хялбархан функцvvдийн графикийн зурж чадах хэмжээнд хvрлээ. Гэхдээ арай л болоогvй байна. Зарим функцvvд зарим цэг дээр тодорхойлогдоогvй байдаг. Жишээ нь,
функц х=1 дээр тодорхойлогдоогvй байна. Функц маань х нэгд ойртоход яадаг цм бэ? Одоо тэгвэл энэ функцийн графикийг зуръя. f - ийн уламжлалыг олвол:
байна. Тэгэхлээр сэжигтэй тоонууд маань х = 0, 2 байна. Одоо функц маань сэжигтэй тоонууд дээрээ хэд гардaгийг олoё. f(0) = -2, f(2) = 2. Бид функцээ өсөж байна уу, буурж байна уу гэдгийг мэдэхийг хэрэгтэй байна. 12-р теорем ёсоор, vvнийг судлахын тулд функцийн маань уламжлал тодорхой хэсгvvд дээр эерэг байна уу, сөрөг байна уу гэдгийг мэдэх хэрэгтэй:
Одоо нэг л юмийг мэдэх vлдлээ: х--> (x их болох), х-->- (х бага болох), х-->1 (х нэгд ойртох) - д функц маань яадаг вэ? Эхлээд
болохлээр х--> гэхээр f(x)-->, х-->- гэхээр f(x)-->- болохыг харахад төвөггvй. (Өөрөөр хэлбэл, х аймаар том болоход 1/(x-1) аймаар жижигхэн болно, тэгэхлээр энийг тоохгvй vлдээж болох юм). Бас
байна. Учир нь хуваагдагч нь 1-д ойртоод байхад, (х-1) нь багассаар байна. (Хамгийн гол нь f(x) функц эерэг байна уу, сөрөг байна уу гэдгийг сайн анхаараарай.) За одоо энэ их олон хариултуудыг нэгтэгээд функцийнхээ графикийг зуръя:
Тэр хоёр бор зураасны тухай бид энэ хичээлийн дараагийн дараагийн хичээл дээрээс авч vзэх болно. f(x) бидний бодсон ёсоор 2 дээр ойрын min, 0 дээр ойрын max - тай байгааг ажилгаж болно.
Хэдийгээр бид хоёрдугаар эрэмбийн уламжлалыг яаж ашиглах тухай дараагийн хичээл дээрээ сайн vзэх болов ч, одоо нэг теоремийг батлах болно.
Теорем 13
(a)=0 гэе. Хэрвээ (а)>0 ((а)<0) бол f а дээр ойрын min (max) - тай.
Баталгаа
Тодорхойлолт ёсоор,
(а) > 0 гэе. Тэгэхлээр бидний дээр өгсөн хязгаараас харвал
1. h+-->0 гэхэд (a+h) эерэг байна.
2. h--->0 гэхэд (a+h) сөрөг байна.
Энэ нь f функц 12-р теорем ёсоор а - гийн зvvн талд өсөөд, а - гийн баруун гар талд буурж байгаа гэсэн vг билээ. Тэгэхлээр функц маань а - гийн дэргэд ойрын min - тай байна. (а) < 0 тохиолдолыг төсөөтөйгөөр баталж болно.
Энийг хар ухаанаад бодоход ойлгомжтой байна... Хэрвээ (а) > 0 бол (а) өссөөр байна. (а)=0 гэсэн болохлээр, өсөж байгаа функц юм чинь, (а) чинь а - гийн зvvн талд сөрөг байснаа, а - гийн баруун талд эерэг болж ирж байна. Тэгэхлээр f функц маань а - гийн баруун талд буурж байснаа, а - гийн зvvн талд өгсөөд эхэлж байна.
Уламжлалын Хэрэглээ
За уламжлал гэж сурчихаад тэрнийгээ юунд хэрэглэдгийг нь мэдэхгvй бол болохгvй байх. Уламжлал интегралтай нийлэхээрэй хамгийн хvчтэй болдог. Ньютон - Лейбницийн томъёо энийг баталдаг. Гэхдээ уламжлалууд нь өөр олон янзын хэрэглээтэй.
Юуны өмнө функцийн графикийг байгуулахад 1 ба 2-р эрэмбийн уламжлалууд хэрэг болдог. Бас уламжлалын тусламжтайгаар бид функцийн max, min хоёрыг олох болно. За тэгэхлээр max, min гэж яг юу болохыг тодорхойлонгоо яриагаа эхлэе.
f(x) функц нь D тодорхойлох мужтай бөгөөд байг. Хэрвээ бvх у - гийн хувьд
бол f функц х дээр хамгийн их утгаа авч байна. f(x) - ийг бид max гэдэг (максимум гэж бас нэрэлдэг). Хэрвээ (яг эсэргээр нь) f функц х дээр хамгийн бага утгаа авч байвал f(x) - ийг f функцийн min гэдэг (минимум).
Дээрх зураг дээр ногоон функц нь а дээр min - тэй, цэнхэр функц нь x дээр мах - тай байна. Одоо нэг чухал теоремыг батлая.
Теорем 9
f функц (a, b) завсар дээр тодорхойлогдсон гэе. Хэрвээ f(x) нь f функцийн max (эсгvй бол min) бөдөөд f нь а дээр уламжлалтай бол (x)=0.
Баталгаа
Зvгээр хар ухаанаар бодвол энэ нь ойлгомжтой байна. Дээрх зураг дээр max (min) - г шvрэгсэн шулуун зурвал тэр шулууны хазайлт нь 0 байна. Одоо энэ санаагаа математикийн аргаар батлая.
Эхлээд f(x) - ийг max гэж гэж бодъё. Хэрвээ x+h тоо (a, b) завсарт байдаг бол
байна. Учир нь f(x) нь max билээ. Тэгэхлээр
(1)
байна. Хэдийгээр бид h-->0+, h-->0- гэж юу болохыг хэлээгvй ч, энэ нь бараг өөрийгөө тайлбарлаад өгчихдөг: h-->0+ дээр нь h маань баруун талаас нь 0-д ойртож байна (энд h vргэлж эерэг байна), h-->0- дээр нь h маань зvvн талаас нь 0-д ойртож байна (энд h vргэлж сөрөг байна).
f функц х дээр уламжлалтай болохлээр (1) - ийг дараах маягаар бичнэ:
Энэ теоремоос харвал, бас хар ухаанаар бодвол, бид заавал бvхэл бvтэн функцийн тухай ярих албагvй, харин функцийг тодорхой нэгэн хэсэг дээр ярьж болох юм. Энэ хэсэг маань өөрийн гэсэн min, max - тай байх нь ойлгомжтой байна. Бид энэ санаагаа ингэж тодорхойлдог:
Хэрвээ f(x) нь D(x - , x + ) дээр max (min) байхаар тоо олдож байвал f(x) - ийг бид дээрх завсар дээрх ойрын max (min) гэж хэлдэг.
Бас нэг чухал юмыг анхаарна уу: 9-р теорем урвуугаараа худлаа шvv! (x)=0 байлаа ч гэсэн f(x) нь max (min) байх албагvй. Жишээ нь: f=x3 байг. (0)=0 болов ч 0 дээр f функц - д max (min) байхгvй байна.
Харин бид (x)=0 - ийг хангах бvх x - vvдийг сэжигтэй цэгvvд гэж нэрэлдэг.
Ямар нэгэн функц өгөгдсөн байхад тодорхой нэгэн завсар [a, b] дээр яаж max (min) - ийг олох вэ? Альваа нэгэн [a, b] дээр орших max (min) болох f(x) нь дараах гурав чанрын аль нэгийг агуулсан байдаг:
1. x нь [a, b] дээрх сэжигтэй цэг.
2. х=а юм уу, эсгvй бол х=b (захын цэгvvд)
3. f нь х дээр уламжлалгvй.
Одоо нэг жишээ авч vзье (Энэ жишээг Spivak - ийн Calculus номноос шууд авсан болно). g(x)=x3 - x гэе. Бид [-1, 2] завсар дээр энэ функцийн max, min - ийг олох болно. Юуны өмнө g'(x)=3x2-1 байгааг бодож олно. Бид дээр жигсаасан гурван шинж чанарыг агуулсан х - г хайж байгаа билээ. Эхлээд g'(x)=0 - г хангах х - vvдийг олъё. Энэ тэгшитгэлийг бодвол,
байна. Энэ хоёр сэжигтэй цэгvvд маань [-1, 2] завсарт оршихийг шалгаж болно. Энэ функц нь бvх тодорхойлох муж дээрээ уламжлалтай байгааг анхаарвал max (min) дараах цэгvvдийн аль нэгэн дээр нь байна:
1. (сэжигтэй цэгvvд)
2. -1, 2 (захын цэгvvд)
Одоо эдгээр цэгvvдээ буцаад g - д оруулж аль нь их, аль нь бага болохыг харах л vлдлээ:
Тэгэхлээр min нь , max нь 6 байна.
Теорем 10
f нь [a, b] дээр тасралтгvй, (a, b) дээр уламжлалтай ба f(a)=f(b) бол (a, b) дотор (x)=0 тэнцэтгэлийг хангах x олдоно.
Баталгаа
f функц [а, b] дээр тасралтгvй болохлээр [a, b] дээр max (min) - тэй. Хэрвээ тэр max (min) нь (a, b) дотор байдаг бол 9-р теоремоор (x)=0. Хэрвээ max (min) нь а, b хоёрын аль нэг нь бол f(a)=f(b) болохлээр функц маань налуу функц байна. Энэ тохиолдол дээр бид [a, b] дотроос дуртай х - гээ сонгон авч болно.
Хэдийгээр 10-р теорем маань тийм чухал теорем биш болов ч, бидэнд маш чухал 11-р теоремийг баталхад туслана.
Теорем 11
f нь [a, b] дээр тасралтгvй ба (a, b) дээр уламжлалтай байг. Тэгвэл дараах тэнцэтгэлийг хангах х (a, b) завсар дотроос олдно:
Эхлээд энэ теоремоо жаахан тайлбарлая. (Тэгээд дараа нь батлая.) Доорх зураг дээрээс геометрийн дvрслэлийг нь харж болно:
f(x) - ийг шvргэгч шугам (a, f(a)) - гээс (b, f(b)) хvртэл татсан шугамтай паралелл байна. Машин нэг газраас нөгөө газар хvртэл дунджаар 60 км/цаг - ийн хурдтай явсан гэж бодъё. Хар ухаанаар бодвол машин нэг мөчид яг 60 км/цагийн хурдтай явж л байсан байж таараа. Одоо теоремоо батлая.
Баталгаа
Дээрх зураг дээрх L шулуун шугамыг g(x) функцийн график гэж vзвэл
байна. (Яагаад энэ болохыг бид яаг энэ сvлжээндээ тодорхой ярьж байгаагvй. Гэхдээ шугаман функцийн талаар сайн судалгаа хийвэл энэ аяндаа ойлгомжтой болно.) Одоо f функцээс g функцийг хасъя. Геометрээр дvрслэн бодвол иймэрхvv функц гарна:
Бид энэ шинэ гарсан функцээ h(x) гээр тэмдэглэе:
"-f(a)" тоо функцийн графикийг дээш доош нь хөдөлгөхөөс өөр оройлгvй болохлээр бид энэ тоог хаслаа. Бас h нь [a, b] дээр тасралтгvй бөгөөд (a, b) дээр уламжлалтай байна. Тэгэхлээр...
